Klaus Häger wurde in Wuppertal geboren, wo er auch seine Ausbildung in den Fächern Violoncello, Klavier und Orgel erhielt. Bereits während seiner Schulzeit war er als Organist sowie Chor- und Orchesterleiter tätig.
Nach dem Abitur absolvierte er zunächst ein Studium der Schulmusik, später ein Gesangsstudium bei den Professoren Dr. Franz Müller-Heuser, Ingeborg Most und Jürgen Glauß (Liedgestaltung) an den Musikhochschulen Köln und Freiburg. Es folgten Meisterkurse bei Sena Junnac, Ernst Haefliger und Dietrich Fischer-Dieskau.
Bereits während des Studiums kam er Verpflichtungen für Liederabende, Orchesterkonzerte und zahlreiche Oratorienaufführungen im In- und Ausland nach. Nahezu alle deutschen Rundfunkanstalten verpflichteten ihn; zahlreiche Schallplatten- und CD-Einspielungen sowie TV-Aufnahmen vervollständigen die künstlerischen Aktivitäten des Sängers.
Klaus Häger war Preisträger zahlreicher internationaler Wettbewerbe wie des Internationalen Mirjam-Helin-Gesangswettbewerbs Helsinki 1989 oder des Internationalen Mozart-Wettbewerbs der Städte Venedig, Prag und Wien. Er gewann den Oberdörffer-Preis Hamburg 1992 und den Bundeswettbewerb Gesang 1990 in Berlin (1. Preis im Fach Konzert und zwei Sonderpreise). Außerdem war er Stipendiat des Bundespräsidenten Richard von Weizsäcker und der Walter-Kaminsky-Gedächtnisstiftung.
Von 1991 bis 1997 war Klaus Häger Ensemblemitglied der Hamburgischen Staatsoper, von 1997 bis 2003 gehörte er dem Ensemble der Staatsoper Berlin an. 2002 debütierte er bei den Bayreuther Festspielen in "Die Meistersinger von Nürnberg" unter Christian Thieleman; auch bei den Salzburger Festspielen trat er auf.
Gastspiele führten ihn u.a. an die Opernhäuser von Berlin (Deutsche und Komischer Oper), München, Dresden, Köln, Bonn, Madrid, Mailand und Tokio. Im Konzertbereich gastiert er regelmäßig in den großen Musikzentren Deutschlands, Europas und Asiens, ferner auch in der Carnegie Hall in New York. Die Zusammenarbeit mit Dirigenten wie Daniel Barenboim, Christian Thielemann, Zubin Mehta, Riccardo Chailly, René Jacobs und Helmuth Rilling prägte seinen künstlerischen Werdegang. Insbesondere die großen Werke Johann Sebastian Bachs und die Opern Wolfgang Amadeus Mozarts lagen immer wieder im Zentrum seines künstlerischen Schaffens.
Seine Kenntnisse und Fähigkeiten gibt Klaus Häger in Meisterkursen im In- und Ausland und seit 2004 im Rahmen seiner Professur an der Hochschule für Musik und Theater Rostock an die kommenden Generationen weiter. Seit dem Wintersemester 2022/23 hat er auch eine Gastprofessur an der Hochschule für Musik "Hanns Eisler" Berlin inne.